Помогите обратную матрицу найти
Ответы на вопрос
Запишем матрицу в виде:
3 2 -4
2 4 -5
4 -3 2
Главный определитель
∆=3•(4•2-(-3•(-5)))-2•(2•2-(-3•(-4)))+4•(2•(-5)-4•(-4))=19
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
где Aij - алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица.
AT=
3 2 4
2 4 -3
-4 -5 2
Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.
AT1,1=(-1)1+1
4 -3
-5 2
∆1,1=(4•2-(-5•(-3)))=-7
AT1,2=(-1)1+2
2 -3
-4 2
∆1,2=-(2•2-(-4•(-3)))=8
AT1,3=(-1)1+3
2 4
-4 -5
∆1,3=(2•(-5)-(-4•4))=6
AT2,1=(-1)2+1
2 4
-5 2
∆2,1=-(2•2-(-5•4))=-24
AT2,2=(-1)2+2
3 4
-4 2
∆2,2=(3•2-(-4•4))=22
AT2,3=(-1)2+3
3 2
-4 -5
∆2,3=-(3•(-5)-(-4•2))=7
AT3,1=(-1)3+1
2 4
4 -3
∆3,1=(2•(-3)-4•4)=-22
AT3,2=(-1)3+2
3 4
2 -3
∆3,2=-(3•(-3)-2•4)=17
AT3,3=(-1)3+3
3 2
2 4
∆3,3=(3•4-2•2)=8
Обратная матрица.
-7 8 6
-24 22 7
-22 17 8
A-1=
-0,368 0,421 0,316
-1,263 1,158 0,368
-1,158 0,895 0,421
Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A*A-1=
3 2 -4
2 4 -5
4 -3 2
-7 8 6
-24 22 7
-22 17 8
E=A*A-1=
(3•(-7))+(2•(-24))+(-4•(-22)) (3•8)+(2•22)+(-4•17) (3•6)+(2•7)+(-4•8)
(2•(-7))+(4•(-24))+(-5•(-22)) (2•8)+(4•22)+(-5•17) (2•6)+(4•7)+(-5•8)
(4•(-7))+(-3•(-24))+(2•(-22)) (4•8)+(-3•22)+(2•17) (4•6)+(-3•7)+(2•8)
19 0 0
0 19 0
0 0 19
A*A-1=
1 0 0
0 1 0
0 0 1