Question

Помогите найти условный экстремум функции методом множителей Лагранжа
z=xy, условие: 2x-y=4

Answer 1

Ответ:

(x, y) = (1, -2); z(1, -2) = -2 – условный минимум

Пошаговое объяснение:

Вводим функцию Лагранжа $L(x,y,lambda)=z(x,y)-lambda(2x-y-4)$

В точке экстремума частные производные равны 0. Совместно с условием связи получаем систему

$begin{cases}dfrac{partial L}{partial x}=y-2lambda=0\dfrac{partial L}{partial y}=x+lambda=0\2x-y=4end{cases}Leftrightarrowbegin{cases}x=1\y=-2\lambda=-1end{cases}$

То, что найденная точка – действительно экстремум, можно убедиться, например, так. Из уравнения связи $dy=2dx$, находим второй дифференциал функции z:

$d^2z=2,dx,dy=4(dx)^2>0$ при $dxne0$. Значит, найденное значение – точка условного минимума