Question

ПОМОГИТЕ НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Answer 1

Ответ:

Так как функция степенно-показательная, то применимо логарифмическое дифференцирование . Прологарифмируем заданное равенство и найдём производную от обеих частей полученного равенства, выразим у' .

$y=(cosx)^{\frac{x}{2}}\\\\lny=ln(cosx)^{\frac{x}{2}}\\\\\Big(lny\Big)'=\Big(ln(cosx)^{\frac{x}{2}}\Big)'\\\\\displaystyle \frac{y'}{y}=\Big(\frac{x}{2}\cdot ln(cosx)\Big)'\\\\ \frac{y'}{y}=\frac{1}{2}\cdot ln(cosx)+\frac{x}{2}\cdot \frac{-sinx}{cosx}\\\\y'=y\cdot \Big(\frac{1}{2}\cdot ln(cosx)-\frac{x}{2}\cdot tgx\Big)\\\\\\\boxed{\ y'=\frac{1}{2}\cdot (cosx)^{\frac{x}{2}}\cdot \Big(ln(cosx)-x\cdot tgx\Big)\ }$  

Answer 2

Применяем основное логарифмическое тождество:

$cosx=e^{lncosx}\\\\(cosx)^{\frac{x}{2} }=(e^{lncosx})^{\frac{x}{2} }\\\\(cosx)^{\frac{x}{2} }=(e^{\frac{x}{2}lncosx})$

По формуле:

$(e^{u})`=e^{u}\cdot u`$