Question

Помогите найти площадь

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

здесь у нас циклоида

я найду площадь одной "арки" циклоиды, а там смотрите дальше. все эти арки равноплощадны

рисуем график и смотрим пределы интегрирования.

хотя можно и аналитически

если период циклоиды  $\displaystyle \left \{ {{x=t-sint} \atop {y=1-cost}} \right.$   равен 2π,

то период циклоиды  $\displaystyle \left \{ {{x=3(t-sint)} \atop {y=3(1-cost)}} \right.$   будет равен 6π

формула площади для параметрически заданных функций

$\displaystyle S=\int\limits^{t_2}_{t_1} {y(t)*x'(t)} \, dt$

x'(t) = 3(1-cost)

t₁ = 0    t₂ = 6π

итого считаем интеграл

$\displaystyle S=9\int\limits^{6\pi }_0 {(1-cost)^2} \, dt =9\int\limits^{6\pi }_0 {cos^2t} \, dt -18sint\bigg|_0^{6\pi }+9t\bigg|_0^{6\pi }=$

$\displaystyle = 9\bigg[cos^2t=\frac{1+cos(2t)}{2} \bigg ] -0 +54\pi =\frac{1}{2} \int\limits^{6\pi }_0 {} } \, dt+\frac{1}{2}\int\limits^{6\pi }_b {cos(2t)} \, dt+54\pi =$

$\displaystyle =27\pi +0 + 54\pi = 81\pi$