Question

Помогите найти максимум выражения (ab+bc+cd), если a+b+c+d=44​

Answer 1

Имеет смысл брать только неотрицательные числа, иначе будут получаться отрицательные слагаемые в выражении (если взять все отрицательными, данная сумма не будет равной 44).

$ab+bc+cd=ab+bc+cd+ad-ad=b(a+c)+d(a+c)-ad=\=(a+c)(b+d)-ad$

Значит, нужно максимизировать произведение и минимизировать вычитаемое.

По неравенству Коши получаем:

$frac{(a+c)+(b+d)}{2}geq sqrt{(a+c)(b+d)}\22geq sqrt{(a+c)(b+d)}\(a+c)(b+d)leq 484$

При a ≥ 0, d ≥ 0 min(ad) = 0. Учитывая это:

$max{(ab+bc+cd)}=max{((a+c)(b+d)-ad)}=\=max{((a+c)(b+d))}-min{(ad)}=484-0=484$

Это значение достигается, например, при a = 0, b = 1, c = 22, d = 21: 0*1 + 1*22 + 22*21 = 22 + 462 = 484.

Ответ: 484

Answer 2

неравенство Коши в школе не проходят....

Answer 3

но решение подходящее....

Answer 4

Все там нормально. Неравенство о средних с двумя слагаемыми можно. А вот для трех членов и более это уже не школьное неравенство. Тут все нормально.

Answer 5

По сути задачу можно решить и чисто интуитивно. Если взять прямоугольники со сторонами a и b, b и c, c и d и попробовать сложить их в прямоугольник, видно, что до большого прямоугольника со сторонами a+c и b+d не хватает одного со сторонами a и d: https://ibb.co/z2D9Q42. Нас просят сделать закрашенную часть как можно больше, тогда давайте просто одну из сторон «лишнего» прямоугольника сделаем нулём, например, a.

Answer 6

Тогда b+c+d = 44, а максимизируемая площадь равна c(b+d). b+d = 44-c, max(c(44-c)) достигается при c = 22: 22*22 = 484. Или можно было пойти так: у нас после a = 0 остался прямоугольник со сторонами c и b+d. Площадь максимальна, если это квадрат. Тогда b+c+d = 44, b+d = c, 2c = 44, c = 22, b+d = 22.