Question

помогите найти градиент функции a)qrad z=f(x,y) в точке A(x,y)

б) её производную AB

z=ln(2x+3y) A(2,2) B(-1,4)

Answer 1

1) Вычислим частные производные: d z/d y = dln(2x+3y)/dy = 3/(2x+3y),  

d z/d x = dln(2x+3y)/dx = 2/(2x+3y). Тогда градиент функции z=f(x,y) равен: gradz = grad(f(x,y)) = (d z/d x)i + (d z/d y)j = 2i/(2x+3y) + 3j/(2x+3y),

где i - единичный вектор оси ОХ, j - единичный вектор оси ОУ.

Теперь посчитаем градиент z в точке А(2;2): gradz(А) =  2i/(2·2+3·2) + 3j/(2·2+3·2) = 2i/10 + 3j/10 = 0,2i + 0,3j

2) АВ = { -1 -2; 4-2} = {-3;2} = a (для удобства переобозначим вектор одной буквой). Найдем производную z по направлению вектора

a = {Ха; Ya} = {-3;2}: dz/da = (d z/d x)·cosα  + (d z/d y)·cosβ, где cosα = Ха/|a|

и cosβ = Ya/|a| - направляющие косинусы a,   |a| = ((-3)²+2²)^0,5 = √13.

Тогда cosα = -3/√13, cosβ = 2/√13 ⇒ производная равна dz/da =  

2/(2x+3y)  · (-3/√13) + 3/(2x+3y)  · 2/√13 = (подставляем вместо х и у координаты А) = 2/10 · (-3/√13) + 3/10 · (2/√13)  = -3/(5√13)  + 3/(5√13) = 0