Question

Помогите! Как решить определённый интеграл?
Я не могу, формул таких нету, как подгонять?

Answer 1

$1); ; intlimits^1_0, frac{4arctgx-x}{1+x^2}, dx=4intlimits^1_0, arctgxcdot frac{dx}{1+x^2}-intlimits^1_0, frac{xdx}{1+x^2}=\\=4intlimits^1_0, arctgxcdot d(arctgx)dx-frac{1}{2}intlimits^1_0 frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\\=4cdot frac{arctg^2x}{2}Big |_0^1-frac{1}{2}cdot ln(1+x^2)Big |_0^1=2(arctg^21-arctg^20)-frac{1}{2}cdot (ln2-ln1)\\=2cdot frac{pi ^2}{16}-frac{1}{2}cdot ln2=frac{pi ^2}{8}-frac{ln2}{2}$

$2); ; intlimits^0_{-1}, frac{3^{x}-2^{x}}{6^{x}}, dx=intlimits^0_{-1}frac{3^{x}}{6^{x}}dx-intlimits^0_{-1}frac{2^{x}}{6^{x}}, dx=intlimits^0_{-1}, frac{dx}{2^{x}}-intlimits^0_{-1},frac{dx}{3^{x}}=\\=intlimits^0_{-1}, 2^{-x}dx-intlimits^0_{-1}, 3^{-x}dx=(-frac{2^{-x}}{ln2}+frac{3^{-x}}{ln3})Big |_{-1}^0=-frac{1}{ln2}+frac{2}{ln2}+frac{1}{ln3}-frac{3}{ln3}=\\=frac{1}{ln2}-frac{2}{ln3}\\3); ; intlimits^{frac{pi}{4}}_0, tg^3x, dx=Big [; t=tgx; ,; x=arctgt; ,; dx=frac{dt}{1+t^2}; Big ]=int limits _0^1, frac{t^3, dt}{1+t^2}=$

$=intlimits^1_0(t-frac{t}{1+t^2}), dx=(frac{t^2}{2}-frac{1}{2}ln(1+t^2)) Big |_0^1=frac{1}{2}-frac{1}{2}ln2=frac{1}{2}(1-ln2)$

Answer 2

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!