Question

Помогите дописать интеграл: $\int\limits {\frac{dx}{1-5sin^2x} } = \int\limits {\frac{dx}{sin^2x(\frac{1}{(sin^2x}-5) } } = \left \{ {{\frac{1}{sin^2x} =1+ctg^2x} = .....$ . Ответ: $\frac{1}{4} ln |\frac{1+2tgx}{1-2tgx}|+C$

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\int\limits \dfrac{1}{1-5sin^2x}\, dx$

Знаем, что $sin^2x=\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right)^2$, где $t=\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}$.

Тогда:

$\int\limits \dfrac{1}{1-5\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right)^2}\, \cdot\dfrac{2dt}{1+t^2}=\int\limits \dfrac{1}{1-5\left(\dfrac{2t}{1+t^2}\right)^2}\, \cdot\dfrac{2dt}{1+t^2}=\\=\int\limits \dfrac{2+2t^2}{t^4-18t^2+1}\, dt$

Так как $\dfrac{2+2t^2}{t^4-18t^2+1}=\dfrac{t-2}{2t^2-8t-2}-\dfrac{t+2}{2t^2+8t-2}$, то можно написать:

$\int\limits\left( \dfrac{t-2}{2t^2-8t-2}-\dfrac{t+2}{2t^2+8t-2}\right)\, dt=\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|2t^2-8t-2\right|\right)-\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|2t^2+8t-2\right|\right)+C$

Приведем теперь полученное к более красивому виду:

$\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|2t^2-8t-2\right|\right)-\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|2t^2+8t-2\right|\right)+C=\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{2t^2-8t-2}{2t^2+8t-2}\right|\right)+C=\\=\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{t^2-4t-1}{t^2+4t-1}\right|\right)+C$

Делаем обратную замену:

$\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}-4\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}-1}{\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}+4\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}-1}\right|\right)+C$

Попробуем упростить полученное.

Вспомним, что $\mathrm{tg}x=\dfrac{2\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{1-\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}},\;=>\;\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}=1-\dfrac{2\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{\mathrm{tg}x}$.

И теперь подставим вместо $\mathrm{tg}^2\dfrac{x}{2}$ имеющееся выражение:

$\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{1-\dfrac{2\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{\mathrm{tg}x}-4\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}-1}{1-\dfrac{2\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}}{\mathrm{tg}x}+4\mathrm{tg}\dfrac{x}{2}-1}\right|\right)+C$

Единицы уходят, тангенсы половинных углов и двойки сокращаются.

Выходит следующее:

$\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{\dfrac{1}{\mathrm{tg}x}+2}{\dfrac{1}{\mathrm{tg}x}-2}\right|\right)+C=\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{1+2\mathrm{tg}x}{1-2\mathrm{tg}x}\right|\right)+C$

Итого получили, что:

$\int\limits \dfrac{1}{1-5sin^2x}\, dx=\dfrac{1}{4}\ln\left(\left|\dfrac{1+2\mathrm{tg}x}{1-2\mathrm{tg}x}\right|\right)+C$

Задание выполнено!