Алгебра, вопрос задал mitzuki058 , 1 год назад

Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что
lim(n→∞) (x*sin(1/x)) = 0

Alexandr130398: да где ж ты учишься, что тебе такой ужас дают решать?

mitzuki058: не говори;-;,я на педагога учусь в универе

Alexandr130398: хм... Я тоже, правда, заочно. Наверно поэтому такой жести у меня не было

mitzuki058: это нужно сделать до утра,а я не понимаю как....

redspongered: Мы это в школе проходили, но на другом уровне. Впрочем, найти предел функции было бы легко, но сам вопрос о доказательства звучит подозрительно. Могу лишь сказать, что при n→∞ стоит попробовать заменить все x на ∞: ∞*sin(1/∞)=0, где 1/∞=0 (если брать всё выше значение для знаменателя дроби, итоговое значение будет ставать всё меньше, откуда и предел = 0), а sin(0) это просто 0, так что как итог выйдет ∞*0, что будет равно 0.

redspongered: Я не слышал про определение функции по Коши и лишь изложил что знаю из школы. Возможно, это сообщение не даст нужный вам ответ на вопрос, но если я всё-же сделал то, что вам и нужно - всё было не зря.

Ответы на вопрос

Ответил polarkat

$x\sin \frac{1}{x}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow }0\sim \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta (\varepsilon ) > 0:\forall x \; 0 < |x| < \delta \rightarrow \left | x\sin \frac{1}{x} \right | < \varepsilon \\\delta (\varepsilon )=\varepsilon \Rightarrow \left | x\sin \frac{1}{x} \right |\leq |x| < \delta =\varepsilon$