Question

показать что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R^3 и разложить вектор а4 по этому базису
а1(2;1;4), а2(-3;5;1), а3=(1;-4;-3); а4=(2;-5;-4)

Answer 1

$vec{a}_1=(2,1,4); ,; vec{a}_2=(-3,5,1); ,; vec{a}_3=(1,-4,-3); ,; vec{a}_4=(2,-5,-4)\\\(vec{a}_1,vec{a}_2,vec{a}_3)=left|begin{array}{ccc}2&1&4\-3&5&1\1&-4&-3end{array}right|=2cdot (-15+4)-(9-1)+4cdot (12-5)=-2ne 0$

Так как определитель не равен нулю, то векторы не компланарны (не лежат в одной плоскости), значит они образуют базис.

Если вектор $vec{a}_4$  разложить по базису  $vec{a}_1,vec{a}_2,vec{a}_3$  , то можно записать:

$vec{a}_4=alpha cdot vec{a}_1+beta cdot vec{a}_2+gamma cdot vec{a}_3$

Такой же линейной зависимостью будут связаны и координаты этих векторов. Это можно записать с помощью системы:

$left{begin{array}{c}2alpha -3beta +gamma =2\alpha +5beta +4gamma =-5\4alpha+beta -3gamma =-4end{array}right ; ; left(begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\2&-3&1&|; ; ; 2\4&1&-3&|-4end{array}right)sim \\\1strcdot (-2)+2str; ; ,; ; 2strcdot (-2)+3str; ; ,\\sim left(begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\0&-13&-7&|; ; 12\0&7&-5&|-8end{array}right)sim; ; 2strcdot 7+3strcdot 13; sim left(begin{array}{cccc}1&5&4&|-5\0&-13&-7&|; 12\0&0&-114&|-20end{array}right)$

$left{begin{array}{c}alpha +5beta +4gamma =-5\-13beta -7gamma =12\-114gamma=-20end{array}right ; ; left{begin{array}{c}alpha =-5-5beta -4gamma \-13beta =12+7cdot frac{10}{57}\gamma =frac{10}{57}end{array}right \\\left{begin{array}{c}alpha =-5+frac{5cdot 58}{57}-frac{4cdot 10}{57}\beta =-frac{58}{57}\gamma =frac{10}{57}end{array}right; ; ; left{begin{array}{ccc}alpha =-frac{35}{57}\beta =-frac{58}{57}\gamma =frac{10}{57}end{array}right$

$vec{a}_4=-frac{35}{57}, vec{a}_1-frac{58}{57}, vec{a}_2+frac{10}{57}, vec{a}_3$