Математика, вопрос задал Hapрygamer , 7 лет назад

Почему НОД(u² + v², uv) = 1
При условии что u и v взаимно простые?

Ответы на вопрос

Ответил yugolovin

Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а v не делится на p. Поскольку

u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность

(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v также делится на p. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Hapрygamer: Почему u^2+v^2 делится на p, понимаю, но почему на u и u^2?

yugolovin: Если произведение двух чисел делится на простое число, одно из них обязано делиться на него. Это следует из так называемой основной теоремы арифметики (каждое натуральное число может быть разложено (и единственным образом - с точностью до перестановки множителей) на простые множители)

Hapрygamer: Но ведь тут сумма квадратов. А u=p*некое k.

yugolovin: Мы предположили, что u^2+v^2 и uv имеют общие делители, и p - один из них. Итак, uv делится на p, а тогда u или v делится на p

Hapрygamer: Ну вот да, u делится на p, а v - нет. И u^2 + v^2 кратно p, но почему кратно u? 34 кратно 2, но не кратно 6