Question

Плотность распределения с.в. имеет вид.

Answer 1

Математическое ожидание:

$\mathbb{E}(X) =\int\limits^{+\infty}_{-\infty} {\xi} * f(\xi) \, d\xi = \int\limits^{2}_{0}{{3\over8}\xi^3}\,d\xi = {3 * 16 \over 32} = 1.5$

Запишем функцию распределения случайной величины:

$F(x) =\int\limits^x_{-\infty} {f(\xi)} \, d\xi = \left[\begin{array}{c}0, \, x \le 0\\{1\over8}x^3, 0 < x \le 2\\1, x > 2\end{array}\right$

Медиана - F(x) = 0.5

${1\over8}x^3 = 0.5\\x = \sqrt[3]{4}$

Квантиль порядка 0.25 - F(x) = 0.25

${1\over8}x^3 = 0.25\\x = \sqrt[3]{2}$

Мода - локальный максимум плотности. Ищем на отрезке [0;2]:

Функция плотности непрерывно возрастает от 0 до 2. Точка 0 не является локальным максимумом (в любой правой полуокрестности есть точка с большим значением). Точка 2 является локальным максимумом - в любой проколотой окрестности этой точки плотность меньше, чем f(2)

Отсюда 2 - мода