Question

Площадь прямоугольника ABCD равна 48 см2. Все стороны прямоугольника увеличили в 1.5 раза. После изменений сторон квадрат диагонали прямоугольника увеличилась на 125 см2. Каким был исходный периметр прямоугольника?

Answer 1

Ответ:   P=28 см²

Пусть длина прямоугольника равна х см , а ширина равна у см .

Диагональ прямоугольника d  , по теореме Пифагора   $d^2=x^2+y^2$  .

Площадь прямоугольника равна  $S=xy$   ⇒   $xy=48\ \ \to \ \ \ y=\dfrac{48}{x}$  .

Стороны нового прямоугольника равны  1,5х см и  1,5у см .

Квадрат длины диагонали нового прямоугольника равен  

$d_1^2=(1,5x)^2+(1,5y)^2\ \ ,\ \ \ d_1^2=2,25x^2+2,25y^2\ \ ,\ \ d_1^2=2,25\, (x^2+y^2)$

По условию  $d_1^2-d^2=125$  .

$2,25\, (x^2+y^2)-(x^2+y^2)=125\\\\1,25(x^2+y^2)=125\\\\x^2+y^2=100$

$x^2+\dfrac{48^2}{x^2}=100\ \ \to \ \ \ \dfrac{x^4-100x^2+2304}{x^2}=0\ \ \ (x\ne 0)\ \ ,\\\\\\x^4-100x^2+2304=0\ \ ,\\\\t=x^2\geq 0\ \ ,\ \ t^2+100t-2304=0\ \ ,\ \ D/4=50^2+2304=196=14^2\ ,\\\\t_1=50-14=36\ \ ,\ \ t_2=50+14=64\\\\x^2=36\ \ \ \to \ \ \ x_{1,2}=\pm 6\\\\x^2=64\ \ \ \to \ \ \ x_{3,4}=\pm 8$

Отрицательные значения переменная не может принимать из-за геометрического смысла переменной .

$x=6\ \ \to \ \ \ y=\dfrac{48}{6}=8\\\\x=8\ \ \ \to \ \ \ y=\dfrac{48}{6}=6$  

Стороны прямоугольника были равны 8 см и 6 см .

Периметр первого прямоугольника равен

$P=2\cdot (8+6)=2\cdot 14=\bf 28$  см .