Question

периметр прямокутника дорівнює 70 см, а відстань від вершини до діагоналі 12 см.   знайти площу прямокутника.​

Answer 1

Ответ:

Площадь прямоугольника равна 300 см2.

Объяснение:

Так как периметр прямоугольника равен 70, то сумма смежных сторон равна 35.

Пусть $AB = CD = x$, $BC = AD = 35 - x$; $0 < x < 35$.

Тогда по теореме Пифагора из треугольника $AHB$

$AH = \sqrt {{x^2} - {{12}^2}} = \sqrt {{x^2} - 144} ,$

а из треугольника $BHC$

$HC = \sqrt {{{(35 - x)}^2} - {{12}^2}} = \sqrt {1225 - 70x + {x^2} - 144} = \sqrt {{x^2} - 70x + 1081} .$

Так как $BH$ — высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, ее можно выразить по формуле

$B{H^2} = AH \cdot HC;$

$\sqrt {{x^2} - 144} \cdot \sqrt {{x^2} - 70x + 1081} = 144;\\\\({x^2} - 144)({x^2} - 70x + 1081) = {144^2}.$

Разложим каждый из трехчленов на множители. Для первого это легко сделать по формуле разности квадратов

${x^2} - 144 = {x^2} - {12^2} = (x - 12)(x + 12).$

Корни второго найдем через дискриминант:

$D = {70^2} - 4 \cdot 1081 = 4900 - 4324 = 576 = {24^2};\\\\x = \displaystyle\frac{{70 \pm 24}}{2} = 35 \pm 12;\\\\{x_1} = 47;\,\,{x_2} = 23.$

Тогда по формуле

$a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})$

получаем, что

${x^2} - 70x + 1081 = (x - 47)(x - 23).$

Значит уравнение перепишется в таком виде:

$(x - 12)(x + 12)(x - 47)(x - 23) = {144^2}.$

Перегруппируем сомножители:

$(x - 12)(x - 23) \cdot (x + 12)(x - 47) = {144^2};\\\\({x^2} - 35x + 276)({x^2} - 35x - 564) = {144^2}.$

Сделаем замену $t = {x^2} - 35x - 144.$

$(t - 420)(t + 420) = {144^2};\\\\{t^2} - 176\,400 = 20\,736;\\\\{t^2} = 197\,136;\\\\{t^2} = {444^2};\\\\t = \pm 444.$

Делая обратную замену, получаем два случая.

1) ${x^2} - 35x - 144 = 444;$

${x^2} - 35x - 588 = 0;\\\\D = {35^2} - 4 \cdot ( - 588) = 1225 + 2352 = 3577 = {(7\sqrt {73} )^2};\\\\x = \displaystyle\frac{{35 \pm 7\sqrt {73} }}{2};\\\\{x_1} = \displaystyle\frac{{35 + 7\sqrt {73} }}{2};\,\,{x_2} = \displaystyle\frac{{35 - 7\sqrt {73} }}{2}.$

Оценим второй получившийся корень:

$64 < 73 < 81,\\8 < \sqrt {73} < 9, \\56 < 7\sqrt {73} < 63, \\- 63 < - 7\sqrt {73} < - 56, \\- 28 < 35 - 7\sqrt {73} < - 21, \\- 14 < \displaystyle\frac{{35 - 7\sqrt {73} }}{2} < - 10,5.$

Получили ${x_2} < 0$, что противоречит смыслу задачи, следовательно, ${x_2}$ — посторонний корень.

Аналогично

$45,5 < \displaystyle\frac{{35 + 7\sqrt {73} }}{2} < 49,\ {x_1} > 35,$

значит корень ${x_1}$ также посторонний.

2) ${x^2} - 35x - 144 = - 444;$

${x^2} - 35x + 300 = 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = 35,\\{x_3}{x_4} = 300;\end{array} \right.\\\\{x_3} = 15,\,\,{x_4} = 20.$

Оба этих корня подходят: при $x = 15$ значение $35 - x = 20$ и наоборот.

Таким образом, площадь прямоугольника $S = ab = 15 \cdot 20 = 300.$