Question

отв пож
$sqrt[3]{24 + sqrt{x} } - sqrt[3]{5 + sqrt{x} } = 1$
​

Answer 1

Пусть:

(24+ x^(1/2) )^(1/3)=a    (ОДЗ x>=0)

(5+ x^(1/2) )^(1/3)=b

Получаем систему:

a-b=1 (a=1+b)

a^3-b^3=19=(a-b)*(a^2+ab+b^2) (формула разность кубов)

1)a^2+ab+b^2=19/(a-b)=19/1=19

(a-b)^2=1 (возводим в квадрат)

2)a^2-2ab+b^2=1

Вычитаем  из   уравнения 1)    уравнение 2)

3ab=18

ab=6

b*(1+b)=6  ( тк a=1+b)

b^2+b-6=0

b1=2

b2=-3  (теорема Виета)

1)  (5+ x^(1/2) )^(1/3)=2

5+ x^(1/2)=8

x^(1/2)=3

x=9

2) (5+ x^(1/2) )^(1/3)=-3

5+ x^(1/2)=-27

x^(1/2)=-32<0  (невозможно)

Ответ: x=9

Answer 2

$(sqrt[3]{24+sqrt{x} }-sqrt[3]{5+sqrt{x} })^{3} =1^{3} \\24+sqrt{x}-5-sqrt{x} -3sqrt[3]{24+sqrt{x} }*sqrt[3]{5+sqrt{x} }(sqrt[3]{24+sqrt{x} }-sqrt[3]{5+sqrt{x} })=1\\19-3sqrt[3]{24+sqrt{x} }*sqrt[3]{5+sqrt{x} }(sqrt[3]{24+sqrt{x} }-sqrt[3]{5+sqrt{x} })=1\\sqrt[3]{24+sqrt{x} }*sqrt[3]{5+sqrt{x} }(sqrt[3]{24+sqrt{x} }-sqrt[3]{5+sqrt{x} })=6\\(sqrt[3]{24+sqrt{x} } *sqrt[3]{5+sqrt{x} })*1=6\\sqrt[3]{(24+sqrt{x})(5+sqrt{x} ) } =6$

Возведём обе части в куб

$(24+sqrt{x})(5+sqrt{x})=216\\120+24sqrt{x} +5sqrt{x}+x=216\\x+29sqrt{x} -96=0\\sqrt{x}=m,mgeq 0\\m^{2}+29m-96=0\\D=29^{2}-4*(-96)=841+384=1225=35^{2}\\m_{1}=frac{-29+35}{2}=3\\m_{2}=frac{-29-35}{2}=-32<0\\sqrt{x}=3\\x=9$

При решении была применена формула не в таком виде

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

а в виде

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

Answer 3

Подобные задания проще сводить к системе, так исключается вероятность ошибки. Возводить в куб при решении таких уравнений очень неудобно