Question

Определите объем шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, учитывая , что центр шара отстоит от вершины пирамида на a, а от бокового ребра на- на b
​

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, у которой основанием является квадрат ABCD, ребро которого равно a, а высота равна h. Также рассмотрим шар, вписанный в эту пирамиду, и проведем из его центра O перпендикуляр на грань ABCD, точку пересечения которого обозначим E. Также проведем отрезок OE и отрезок OF, где F - середина ребра AB.

Треугольник OAE является прямоугольным, и его гипотенуза равна радиусу шара, то есть r. Одна катет этого треугольника равна a/2, так как AE - это медиана квадрата ABCD. Из этого следует, что другой катет равен √(r^2 - (a/2)^2).

Треугольник OFB также является прямоугольным, и его катеты равны b/2 и r.

Треугольник OEF подобен треугольнику ABC, так как углы EOA, AOB и BOF равны друг другу, а угол AEF является общим. Из этого следует, что

EF/AB = OE/OA = OF/OB

Значит, EF = h * r / a и EF = (a^2 - b^2/4)^0.5.

Сравнивая эти два выражения для EF, получаем:

h * r / a = (a^2 - b^2/4)^0.5

r^2 = a^2 - (b^2/4 + h^2)(a^2/h^2)

Теперь, используя формулу объема шара V = (4/3)πr^3, мы можем выразить объем шара, вписанного в данную четырехугольную пирамиду:

V = (4/3)π * [(a^2 - (b^2/4 + h^2)(a^2/h^2))^1.5]

Ответ: объем шара, вписанного в данную четырехугольную пирамиду, равен (4/3)π * [(a^2 - (b^2/4 + h^2)(a^2/h^2))^1.5].