Question

Определить тип дифференциального уравнения первого порядка и найти его общее решение:

Answer 1

Ответ:

Это линейное ДУ

$y' - \frac{4y}{x} = {x}^{4} {e}^{x}$

Замена:

$y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{4uv}{x} = {x}^{4} {e}^{x} \\ u'v + u(v '- \frac{4v}{x} ) = {x}^{4} {e}^{x} \\ \\ 1) v'- \frac{4v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{4v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = 4\int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = 4 ln(x) \\ v = {x}^{4} \\ \\ 2)u'v = {x}^{4} {e}^{x} \\ \frac{du}{dx} \times {x}^{4} = {x}^{4} {e}^{x} \\ u = \int\limits {e}^{x} dx \\ u = e {}^{x } + C \\ \\ y = uv = {x}^{4} ( {e}^{x} + C) = \\ = {x}^{4} {e}^{x} + C {x}^{4}$

общее решение