Question

определить независимое решение дифференциального уравнения​:

y(0)=2;
y'(0)=0

Answer 1

Ответ:

$4y ''- 8y '+ 5y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\4 k {}^{2} - 8k + 5 = 0\\ D = 64 - 80 = - 16\\ k_1 = \frac{8 + 4i}{8} = 1 + \frac{1}{2} i \\ k_2 = 1 - \frac{1}{2} i \\ y = {e}^{x} (C_1 \sin( \frac{x}{2} ) + C_2 \cos( \frac{x}{2} ) )$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 0$

$y '= {e}^{x} (C_1 \sin( \frac{x}{2} ) + C_2 \cos( \frac{x}{2} ) ) + {e}^{x} ( \frac{1}{2} C_1 \cos( \frac{x}{2} ) - \frac{1}{2} C_2 \sin( \frac{x}{2} ) ) = \\ = {e}^{x} ((C_1 - \frac{1}{2} C_2) \sin( \frac{x}{2} ) + (C_2 + \frac{1}{2} C_1)\cos( \frac{x}{2} ) )$

$2 = C_2 \\ 0 = C_2 + \frac{1}{2} C_1 \\ \\ C_2 = 2\\ C_1 = - 2C_2 = - 4$

$y = {e}^{x} ( - 4 \sin( \frac{x}{2} ) + 2 \cos( \frac{x}{2} ) )$

частное решение