Question

Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M0(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.

Answer 1

Для наглядности удобно провести некоторое соответствие с трехмерным пространством

Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некоторую поверхность

${ x,y,x cdot e^y}$

Точке (1,4) соответствует $z=e^4$, т.е. точка $(1,4,e^4)$ (*)

Линию $xy=4$ удобнее записать как трехмерную кривую ${ x,y(x),e^4}$, что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1

Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке $(1,4,e^4)$, в качестве параметра берем переменную x

${x,4-4(x-1),e^4}$ (#)

(вычисляется по аналогии с $overset{rightharpoonup }{r}(t)-overset{rightharpoonup }{r}(t_0)=frac{d}{dt} overset{rightharpoonup }{r}(t_0) cdot (t-t_0)$ )

В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.

Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:

Пусть x=0, тогда из (#) получим точку $(0,8,e^4)$

Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид

$overset{rightharpoonup }{n} = {-1,4,0}cdotfrac{1}{sqrt{17} }$

Понятно что z компонента никак не повлияет на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как

$overset{rightharpoonup }{n} = {-1,4}cdotfrac{1}{sqrt{17} }$

И, наконец, найдем искомую производную:

$grad[z(M_0)]cdotoverset{rightharpoonup }{n}=left{e^4,1 cdot e^4right} cdot {-1,4}cdotfrac{1}{sqrt{17} } = frac{3 e^4}{sqrt{17}} approx 39.726$

Answer 2

хотя я сглупил, это неправильно

Answer 3

а хотя нет, вроде правильно... Но все же вычисления и прочее лучше сами проверьте