Question

Олимпиадная задача!
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10

11*12*13*14*15*16*17*18*19*20

Вычтите из первого примера один любой множитель, из второго примера вычтите сколько угодно множителей.
Задание: привести оба примера к одинаковому произведению.

Answer 1

Представим каждое число в виде множителей простых чисел:

$1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = \ \ =1*2*3*2^2*5*2*3*7*2^3*3^2*2*5 = \ \ = 1*2^8*3^4*5^2*7 \ \ 11*12*13*14*15*16*17*18*19*20 = \ \ 11*2^2*3*13*2*7*3*5*2^4*17*2*3^2*19*2^2*5 = \ \ 11*13*17*19*2^{10}*3^4*5^2*7$

При сравнении двух выражений видно, что во втором случае лишние все простые числа 11, 13, 17 и 19, а также двойка во второй степени.
Во втором выражении 2² входит в число 20. Но 20 состоит ещё и из одной пятёрки. Поэтому, во втором вычеркнем ещё 20, а в первом  5.
В итоге получится:

$1*2*3*4*6*7*8*9*10= 725760 \ \ 12*14*15*16*18 =725760$

Всё верно.