Question

Очень нужно
Даю 25б
.........

Answer 1

$sumlimits_{k=1}^nfrac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}=frac{1}{4}sumlimits_{k=1}^nfrac{(4k^2-1)+1}{4k^2-1}=frac{1}{4}sumlimits_{k=1}^n(1+frac{1}{(2k-1)(2k+1)})=$

$=frac{n}{4}+frac{1}{8}(frac{1}{1}-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{5}+ldots +frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1})=frac{n}{4}+frac{1}{8}(1-frac{1}{2n+1})=frac{n}{4}+frac{n}{4(2n+1)}$

У нас n=500; первое слагаемое превращается в 125, а второе меньше 1. Поэтому целая часть равна 125.

Ответ: 125

Замечание. Мы воспользовались важным равенством, которое полезно помнить наизусть:

$frac{1}{ N(N+K)}=frac{1}{K}(frac{1}{N}-frac{1}{N+K})$