Объясните строго, почему, если два треугольника подобны, то отношение длин
их высот, проведённых из соответствующих вершин, равно коэффициенту подобия?
cos20093:
Ой-ой! А вектор - что такое? И вот тут математика проявляет себя во всей красе. Она прямо отвечает на этот вопрос. Да не важно, что это. Важно, что если умножить вектор на число, получится вектор, и еще есть правило сложения векторов. И все. Таким образом из вашего интуитивного представления о плоскости выделяется самое главное - то, с чем можно производить математические действия.
То есть все дело в правилах. И для евклидовой плоскости эти правила обладают приятным свойством. Они ЛИНЕЙНЫ. То есть если сумму векторов множить на число, получится сумма векторов, каждый из которых равен одну из них, умноженному на число. То есть, проще говоря, можно раскрывать скобки. На самом деле это еще не все интересное, но это почти все, что нужно понимать, чтобы разобраться с преобразованиями плоскости.
И вот, наконец, можно сообщить, что есть гомотетия. Это такое преобразование плоскости, которое состоит из "на старт" - "внимание" - "марш". "На старт" - это когда вы выбираете центр. То есть вы входите в мир плоскости и садитесь в определенной точке. "Внимание" - именно то, что и значит. Вы раскрываете свой разум и помещаете в него все бесконечное множество точек плоскости. То есть именно в этот момент в вашей голове к каждой точке плоскости протягивается радиус-вектор.
Ну, и самая соль. "Марш". Вы умножаете все эти вектора на одно и то же действительное число. Все. Гомотетия произведена. Ура. Пример. От Москвы до Ярославля 270 км. Вы сидите на Ярославском вокзале и мысленно представляете всю железную дорогу. а потом умножаете это расстояние на 3/4 и попадаете в Ростов (Великий). Разумеется, это приближенные числа, речь идет о демонстрации преобразования.
Для понимания можно вывернуть это еще и так. Пусть вы не плоскость растягиваете или сплющиваете, а сами уменьшаетесь или увеличиваетесь. Соответственно, для вас расстояние между точками на плоскости увеличиваются или уменьшаются. Причем все сразу.
Я еще раз вернусь к середине сего длинного опуса. Обратите внимание, что для определения ПОНЯТИЯ равенства фигур уже приходится применять такие преобразования, как движение и отражение (некоторые считают отражение тоже движением). Эти преобразования НЕ МЕНЯЮТ расстояния между точками на плоскости. Скажем, квадрат повернули на 90 градусов. Или треугольник целиком сдвинули на 10 метров вправо. Или фигуру симметрично отразили относительно прямой.
А гомотетия это преобразование, ИЗМЕНЯЮЩЕЕ все расстояния между точками. Но правило очень простое. Вы фиксируете центр гомотетии и изменяете расстояния от центра до ВСЕХ точек плоскости в одно и то же число раз. Число может быть любым, например отрицательным. Тогда после преобразования точка окажется "с другой стороны". Скажем, гомотетия с коэффициентом -1 есть просто центральная симметрия.
Невероятно легко доказать некоторые свойство такого преобразования. Например, прямая переходит в прямую, окружность в окружность, углы между двумя прямыми остаются прежними (то есть высота в треугольнике перейдет в высоту в новом, преобразованном треугольнике, такие преобразования называются конформными, и их невообразимо много).
Теперь можно определить подобие двух фигур. Если можно указать такое преобразование движение + гомотетия, которое приведет к совпадению фигур, то они подобны. По содержанию это определение ничем не отличается от "школьного", но вопросы типа этого - ну, условие задачи, - начисто исчезают. Это так просто по определению :).
Странно, я думал, мое сочинение будет длиннее. Видимо сказываются жара, природная лень и необходимость идти в магазин. Ну что же, учить это я никого не заставляю, те более, что знания - это скорбный балласт на шее неудачника. Помните, это важнейший императив. Не знания составляют суть настоящего образования, а - НАВЫКИ. Если вы умеете решить хоть одну задачу самостоятельно, вы уже на много образованнее любого отличника, зазубрившего все определения и теоремы.
Ответы на вопрос
Ответил alchetorn
0
Ответ:
Пусть у нас есть два треугольника: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, притом ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁:
АВ : А₁В₁ = ВС : В₁С₁ = AC : A₁C₁ = k.
В ∆ABC проведена высота ВН к стороне АС, в ∆А₁В₁С₁ — высота В₁Н₁ к стороне А₁С₁
Sabc = 0.5 • AC • BH => ВН = 2 • Sabc ÷ AC
Sa₁b₁c₁ = 0.5 • A₁C₁ • B₁H₁ = B₁H₁ = 2 • Sa₁b₁c₁ ÷ A₁C₁
Найдём отношение ВН : В₁Н₁:
ВН : В₁Н₁ = (2 • Sabc ÷ AC) ÷ (2 • Sa₁b₁c₁ ÷ A₁C₁) =
= Sabcd • A₁C₁ ÷ (Sa₁b₁c₁ • AC).
A₁C₁ : AC = 1 ÷ (AC : A₁C₁) = 1 ÷ k.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. Sabc : Sa₁b₁c₁ = k².
Таким образом,
ВН : В₁Н₁ = k² • (1 ÷ k) = k,
то есть отношение длин высот, проведённых из соответствующих вершин подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.
Новые вопросы