Question

Объясните пожалуйста как решить!??))
$sqrt{ {x}^{2} - 3x + 5} + {x}^{2} = 3x + 7$

Answer 1

Скидываем $x^2$ в левую часть вот так:

$sqrt{x^2-3x+5}=-(x^2-3x)+7$

Дальше замена

$t=x^2-3x$

$sqrt{t+5} =7-t$

Чтобы решить это уравнение, надо возвести обе части в квадрат, а чтобы при этом не накосячить с лишними корнями, нужно чтобы правая часть была неотрицательна.

$7-tgeq 0\tleq 7$

Вот теперь возводим в квадрат:

$t+5=49-14t+t^2\t^2-15t+44=0\t_1=4\t_2=11$

Второй корень больше 7 и нам не подходит, остается t=4.

Тут стоит ответить важный момент. У кого то мог возникнуть вопрос: а какого ляда мы не проверяли при каких значениях под корнем находится неотрицательное выражение, почему дополнительно не пишем t≥-5?

Ответ: потому что при нашем преобразовании мы получаем, что

$t+5=(7-t)^2$

видно, что t+5 равно квадрату выражения 7-t, то есть уж точно не будет отрицательным для любых найденных t. Здесь этот момент кажется не особо важным, но бывают задания, где под корнем стоит квадратный трехчлен или еще чего похуже и дополнительный поиск области определения корня может сильно усложнить решение. Ладно, заканчиваем графоманию.

Итак, мы получили t=4. Перейдем обратно к x.

$x^2-3x=t_1\x^2-3x=4\x^2-3x-4=0\x_1=-1\x_2=4$