Question

Объясните, как решать задачи такого типа​

Answer 1

Имеется в виду, что a, b, c - какие-то функции от x. Обычный способ, сводящийся к рассмотрению нескольких случаев раскрытия модулей, хорош, если легко ищутся промежутки, на которых эти функции имеют определенный знак. Если же это не так, можно применить метод, который можно найти в книжке Голубева "Решение сложных и нестандартных задач по математике" (этот метод там не обосновывается, поскольку любой, берущийся за решение сложных и нестандартных задач, должен такое обоснование придумывать самостоятельно). Постараюсь это обоснование привести здесь. Основой метода служат следующие равносильности:

$|a|<b\Leftrightarrow \left \{ {{a<b} \atop {a>-b}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a<b} \atop {a<-b}} \right.;$     $|a|>b\Leftrightarrow \left [ {{a>b} \atop {a<-b}} \right. \Leftrightarrow \left [ {{a>b} \atop {-a>b}} \right..$

Доказывать здесь их не хотелось бы. Скажем, в книжке Мерзляка, Полонского и Якира  "Алгебраический тренажер" они используются без доказательства.  Если эти доказательства кому-то нужны, помещайте такое задание, и я обязательно их приведу. Кстати, для тех, кто забыл, напомню, что фигурной скобкой обозначается система, а квадратной - совокупность.

Переходим к неравенству $|a|+|b|<c.$ Перенеся |b| направо, получаем неравенство первого типа, поэтому оно равносильно системе

$\left \{ {{a<c-|b|} \atop {-a<c-|b|}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{|b|<c-a} \atop {|b|<c+a}} \right..$ Снова применяем тот же метод, теперь к каждому из неравенств системы, после чего получаем после перенесения  a влево, систему из четырех неравенств, которую для экономии места и времени для написания я изображу в виде $\{\pm a\pm b<c.$

Рассуждая аналогично, получаем, что

$|a|+|b|>c\Leftrightarrow [\pm a\pm b>c.$ Естественно, здесь такое обозначение я использовал для совокупности четырех неравенств,  полученных всевозможными способами раскрытия модулей.

Наконец, если мы имеем модуль и в правой части, то в случае неравенства |a|+|b|<|c| мы получаем систему $\{\pm a\pm b<|c|\Leftrightarrow \{ |c|>\pm a \pm b,$ причем каждое из этих неравенств равносильно совокупности двух уравнений, полученных разными раскрытиями модуля  c.

Аналогично решается неравенство |a|+|b|>|c|, только здесь получится не система четырех совокупностей, а совокупность четырех систем.