Question

никак не пойму, где ошибка. интегрирование.​

Answer 1

$int{frac{x}{x^3-1}dx}=int{frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}dx}$

Разложим на слагаемые

$frac{x}{(x+1)(x^2+x+1)}=frac{A}{x-1}+frac{Bx+C}{x^2+x+1}=frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=>\=>x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1);\x=Ax^2+Ax+A+Bx^2-Bx+Cx-C=(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C=>\=>left { {{A+B=0} atop {A-B+C=1}}atop{A-C=0} right.left { {{A=-B} atop {A-B+C=1}}atop{A=C} right.;left { {{-B-B+C=1} atop {-B-C=0}} right.;-3B=1;B=-frac{1}{3}=>A=C=frac{1}{3}$

Запишем данный интеграл, как сумму интегралов

$int{frac{x}{(x+1)(x^2+x+1}dx}=frac{1}{3}int{frac{1}{x-1}dx}+int{frac{-frac{1}{3}x+frac{1}{3}}{x^2+x+1}dx}$

Посчитаем эти интегралы

$1)frac{1}{3}int{frac{1}{x-1}dx}=frac{1}{3}ln(|x-1|)+C\2)int{frac{-frac{1}{3}x+frac{1}{3}}{x^2+x+1}dx}=begin{vmatrix}Px+Q=(x^2+x+1)'=\=-frac{1}{6}(2x-2)end{vmatrix}=-frac{1}{6}int{frac{2x-2}{x^2+x+1}dx}=-frac{1}{6}int{frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}}+frac{1}{2}int{frac{1}{x^2+x+1}dx(1)}=-frac{1}{6}ln(x^2+x+1)+frac{2}{sqrt{3}}arctan(frac{2(x+frac{1}{2})}{sqrt{3}})+C$

$(1)\int{frac{1}{x^2+x+1}dx=intfrac{dx}{(x+frac{1}{2})^2+frac{3}{4}}=frac{2}{sqrt{3}}arctan(frac{2(x+frac{1}{2})}{sqrt{3}})+C$

Объединяем решения

$frac{1}{3}ln(|x-1|)-frac{1}{6}ln(|x^2+x+1|)+frac{1}{sqrt{3}}arctan(frac{2x+1}{sqrt{2}})+C=\=frac{1}{3}(]ln(]x-1|)-frac{1}{2}ln(x^2+x+1))+frac{1}{sqrt{3}}arctan(frac{2x+1}{sqrt{2}})+C=\=frac{1}{3}ln(frac{|x-1|}{sqrt{x^2+x+1}})+frac{1}{sqrt{3}}arctan(frac{2x+1}{sqrt{2}})+C$