Question

Неравенство

Докажите, что для любых $a,b \in \mathbb R$ справедливо неравенство
$a^2+ab+b^2 \geqslant 3(a+b-1).$

Answer 1

Ответ:

Доказано, что неравенство  $\displaystyle \bf a^2+ab+b^2\geq 3(a+b-1)$  справедливо для любых а, b ∈ R.

Объяснение:

Докажите, что для любых  a, b ∈ R справедливо неравенство

$\displaystyle \bf a^2+ab+b^2\geq 3(a+b-1)$

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть:

$\displaystyle \bf a^2+ab+b^2\geq 3a+3b-3\\\\a^2+ab+b^2- 3a-3b+3\geq 0$

Преобразуем выражение:

$\displaystyle \bf a^2+ab+b^2- 2a-a-2b-b+1+1+1\geq 0\\\\(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(ab-a-b+1)\geq 0\\\\(a-1)^2+(b-1)^2+(a(b-1)-(b-1))\geq 0\\\\(a-1)^2+(b-1)(a-1)+(b-1)^2\geq 0$

Получили неполный квадрат суммы, который всегда неотрицателен.

Можем это доказать.

1. Если a = 1 и b = 1, то

$\displaystyle \bf (a-1)^2+(b-1)(a-1)+(b-1)^2= 0$

2. Если а = 1, b ≠ 1, то

$\displaystyle \bf (b-1)^2\geq 0$

• Любое выражение в квадрате неотрицательно.

Аналогично, если а ≠ 1, b = 1.

3. Пусть a ≠ 1; b ≠ 1.

Вынесем за скобку (b - 1)²:

$\displaystyle \bf (b-1)^2\left(\frac{(a-1)^2}{(b-1)^2}+\frac{a-1}{b-1}+1\right) \geq 0$

Первый множитель неотрицателен.

Второй множитель - квадратное уравнение, которое путем замены переменной можно представить в виде:

х² + х + 1

Здесь D < 0 ⇒ х² + х + 1 > 0

⇒ Неравенство  верно.

Доказано, что неравенство  $\displaystyle \bf a^2+ab+b^2\geq 3(a+b-1)$  справедливо для любых а, b ∈ R.