Question

Необходимо найти min значение x при котором система имеет решение $left { {{0.465x leq a leq 0.475x} atop {a = N}} atop {x = N}} right.$ ( = N принадлежит множеству натуральных чисел)


** Решение желательно не подбором.

Answer 1

Короче, вся задача сводится к поиску наименьшего такого значения a, так как наименьшему a соотвевствует наименьший x. Итак, путём нехитрых арифметических операция, получим, что x<=a*1000/465 и x>=a*1000/475. Теперь вся суть задачи сводится к нахождению "наилучших" делителей для тысячи в знаменателе, ведь именно тогда мы сможем найти a-наименьшее. Обобщая получим, что нам надо получить "наилучшее" деление от 10^n при x<=475*10^(n-3) и x>=(465*10^(n-3)). Предположим, что  мы смогли подобрать такой x в данном диапазоне равный x=5^k*2^i. Это невозможно так как тогда бы минимальным числом а был бы 1 и мы бы получили, что x>0, что не имеет смысла. Теперь предположим, что x=5^k*2^i*3. Тогда мы можем представить x как 4*10^(n-3)+..... Очевидно, что на 10^(n-3) делится как 5^k, так и 2^i, то есть, если x действительно делится на 5^k или 2^i, то также должна делиться и часть икса, которая заменена у меня точками. Это значит, что в конце мы получим число 4*10^(n-3-i)+<любое число, не кратное 5>, или 4*10(n-3-k)+<любое число, не кратное 2>, что никогда не равно 3 так как 4>3. Теперь посмотрим, что будет, если мы найдем такое x, что x=5^k*2^i*7. Отсюда следует, что минимальное a равное 7, то есть 0.475x>=7. x>=14.7 то есть x>=15. Подставив, видим, что это правильный ответ

Ответ: 15

Answer 2

Возможно, стоит искать минимум функции abs(0.465x-n)+abs(n-0.475x), то есть расстояние от точки до крайних точек? Здесь можно применить неравенство Коши. Сейчас буду пробовать

Answer 3

Получается, что минимум данной функции равен 2*n*sqrt(5/1767), где n-искомое число. Окрестности этой точки равны максимум 0.1x, то есть n<=2*n*sqrt(5/1767)+0.1x. Или n(1-2*sqrt(5/1767))<=0.1x. По идее дальше мы должны как-то использовать то свойство, что x и n натуральны

Answer 4

То есть x>=10*n*(1-2*sqrt(5/1767))>=10*0.465x*(1-2*sqrt(5/1767)). То есть x такое,

Answer 5

Мдааааа, пришёл к тому с чего и начал)

Answer 6

x/n>=10(1-2*sqrt(5/1767)). Очевидно, что x/n - рациональное число. То есть задача сводится к тому, чтобы найти ближайшее рациональное число к числу 10*(1-2*sqrt(5/1767)). Немного арифметики, и мы получим, что (x^2-20*n*x+100*n^2)/(100*n^2)>=20/1767. Получается, что 100*n^2=1767*p где p-целое, получается мы должны подобрать такое p, чтобы в числителе было целое число, а в знаменателе 100*n^2