Question

Найти значения выражений
$sin( alpha - frac{3pi}{2} )$
и
$tan(2pi - alpha )$
, если
$sin( alpha ) = - frac{2}{3}$
и
$frac{3pi}{2} < alpha < 2pi$
​

Answer 1

Согласно формулам приведения, тригонометрические функции вида $fleft(dfrac{npi}{2} pm kalpha right)$, где $n in N, k in Z,$ $alpha$ — некий острый угол, меняются на кофункцию вида $g(kalpha ), k in Z$ с учетом четверти, в которой находится функция $f$.

Также, согласно формулам приведения, тригонометрические функции вида $fleft(npi pm kalpha right)$, где $n in N, k in Z,$ $alpha$ — некий острый угол, остаются такими же только без части $pi n, n in Z,$ с учетом четверти, в которой находится функция $f$.

Итак, имеем: $sin left(alpha - dfrac{3pi}{2} right) = -sin left( dfrac{3pi}{2} - alpha right)$

Значение $dfrac{3pi}{2} - alpha$ находиться в третьей четверти, а функция синус в третьей четверти отрицательна. Также, с учетом того, что имеем $dfrac{3pi}{2}$, то функция синус измениться на кофункцию косинус. Следовательно,

$sin left(alpha - dfrac{3pi}{2} right) = -sin left( dfrac{3pi}{2} - alpha right) = -(-cos alpha) = cos alpha$

Найдем значение $cos alpha$, зная, что $sin alpha = -dfrac{2}{3}$, используя основное тригонометрическое тождество, и то, что угол $alpha$ находится в 4-й четверти.

$sin^{2}alpha + cos^{2}alpha = 1\cos^{2}alpha = 1 - sin^{2}alpha = 1 - left(-dfrac{2}{3} right)^{2} = 1 - dfrac{4}{9} = dfrac{5}{9} \cos alpha = sqrt{dfrac{5}{9}} = dfrac{sqrt{5}}{3}$

Найдем $text{tg} (2pi - alpha )$.

Значение $2pi - alpha$ находится в 4-й четверти, а функция тангенс в этой четверти отрицательна. Также, с учетом того, что имеем $2pi$, функция тангенс не изменится на кофункцию. Следовательно,

$text{tg} (2pi - alpha ) = -text{tg} alpha$

Воспользуемся тем, что $text{tg} alpha = dfrac{sin alpha }{cos alpha }$

Зная значения $sin alpha = -dfrac{2}{3}$ и $cos alpha = dfrac{sqrt{5}}{3}$ имеем:

$text{tg} (2pi - alpha ) = -text{tg} alpha = -dfrac{sin alpha }{cos alpha }= -dfrac{-dfrac{2}{3} }{dfrac{sqrt{5}}{3} } = dfrac{2}{sqrt{5}}= dfrac{2sqrt{5}}{5}$

Ответ: $sin left(alpha - dfrac{3pi}{2} right) = dfrac{sqrt{5}}{3}; text{tg}(2pi - alpha ) = dfrac{2sqrt{5}}{5}$