Question

Найти значения параметра р, при которых уравнение (FOTO) имеет один корень. В ответе указать сумму всех положительных p.

Answer 1

$\frac{(x-2)(4^x-p)}{x^2-4x+3} =0$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$\left\{\begin{matrix}\left\ [\begin{matrix} x-2=0 & & \\ 4^x-p=0 & & \end{matrix}\right. & & \\ x^2-4x+3\neq0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left\ [\begin{matrix}x=2 & & \\ 4^x=p & & \end{matrix}\right. & & \\ x\neq 1 & & \\x\neq 3\end{matrix}\right.$

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ, т.е. исходное уравнение имеет хотя бы одно решение вообще при любых значениях параметра $p$.

Чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно чтобы уравнение $4^x=p$ никаких новых корней не давало. Имеем три ситуации:

1) уравнение $4^x=p$ не имеет корней. Это происходит при $p\leqslant 0$.

2) уравнение $4^x=p$ имеет корень, но он не удовлетворяет ОДЗ. Т.е. корень уравнение равен или 1, или 3.

1 - корень уравнения, если $p=4^1=4$; 3 - корень уравнения, если $p=4^3=64$.

3) уравнение $4^x=p$ имеет корень, но он совпадает с корнем $x=2$. Это происходит при $p=4^2=16$

Итого: уравнение имеет одно решение при всех $p$ ∈ (-∞; 0] ∪ {4} ∪ {16} ∪ {64}. Все положительные решениея - 4, 16, 64. Их сумма равна 84.

ОТВЕТ: 2. 84