Question

Найти значение выражения
$log_{ sqrt{12} } 18 * log_{24} 54 +10*( log_{12} 18-log_{24} 54 )$

Answer 1

Преобразуем выражения:

$log_{12} 18=dfrac{log_2 18}{log_2 12}=dfrac{log_2 (2cdot3^2)}{log_2 (2^2cdot3)}=dfrac{log_2 2+log_23^2}{log_22^2+log_23} = \ =dfrac{log_2 2+2log_23}{2log_22+log_23} = dfrac{1+2log_23}{2+log_23} = dfrac{1+2a}{2+a}$

$log_{ sqrt{12} } 18 = log_{ 12^{0.5} } 18 = frac{1}{0.5} log_{ 12} 18 = 2 log_{ 12} 18=2cdotdfrac{ 2a+1}{ a+2 }$

$log_{24} 54 = dfrac{log_2 54}{log_2 24} =dfrac{log_2 (2cdot 3^3)}{log_2 (2^3cdot 3)} =dfrac{log_2 2+log_23^3}{log_22^3+log_23} = \ =dfrac{log_2 2+3log_23}{3log_22+log_23} =dfrac{1+3log_23}{3+log_23} =dfrac{1+3a}{3+a}$

Обозначение: $a=log_23$

Выражение перепишется в виде:
$log_{ sqrt{12} } 18 cdot log_{24} 54 +10cdot( log_{12} 18-log_{24} 54 )= \ = 2cdotdfrac{ 2a+1}{ a+2 } cdot dfrac{3a+1}{ a+3 } +10cdotleft( dfrac{ 2a+1}{ a+2 }-dfrac{3a+1}{ a+3 } right)= \ =2cdotdfrac{( 2a+1)(3a+1)}{ (a+2)(a+3) } +10cdot dfrac{ (2a+1)(a+3)-(3a+1)(a+2)}{( a+2)(a+3) } \ =2cdotdfrac{6a^2+2a+3a+1}{ (a+2)(a+3) } +10cdot dfrac{2a^2+a+6a+3-3a^2-6a-a-2}{( a+2)(a+3) } \ =2cdotdfrac{6a^2+5a+1}{ (a+2)(a+3) } +10cdot dfrac{-a^2+1}{( a+2)(a+3) }=$
$=dfrac{12a^2+10a+2}{ (a+2)(a+3) } + dfrac{-10a^2+10}{( a+2)(a+3) }=dfrac{12a^2+10a+2-10a^2+10}{ (a+2)(a+3)} = \ =dfrac{2a^2+10a+12}{ a^2+2a+3a+6 } =dfrac{2(a^2+5a+6)}{ a^2+5a+6 } =2$