Question

найти x если ^x+75-^x=5

Answer 1

$\sqrt{x+75} - \sqrt{x} = 5$

Учтём, что подкоренные выражения всегда должны быть неотрицательными:

$\begin{equation*}\begin{cases}x + 75 \geq 0\\x \geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \geq -75\\x \geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{x\geq 0}$

Продолжаем решать уравнение. Если получатся решения, которые не попадут в промежуток выше, то корнями они не будут.

$\sqrt{x+75} = 5 + \sqrt{x}$

Возведём обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x+75})^2 = (5+\sqrt{x})^2\\\\x + 75 = 25 + 10\sqrt{x} + x\\\\x - x + 75 - 25 = 10\sqrt{x}\\\\50 = 10\sqrt{x}\\\\\sqrt{x} = 5\\\\\boxed{x = 25}$

Получившееся значение подпадает под область допустимых значений. Значит, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: $25$.