Question

Найти все значения парамнтра а , при которых для любого действительного значения x выполнено неравенство

Answer 1

Преобразуем выражение, стоящее под модулем.
$5sin^2x+asin2x+cos^2x+a+1=5(1-cos^2x)+asin 2x+cos^2x+\+a+1=a+6+asin2x-4cos^2x=a+6+asin 2x-2(1+cos2x)\=a+4+asin2x-2cos2x=a+4+\+sqrt{a^2+4}sinleft(2x-arcsindfrac2{sqrt{a^2+4}}right)$
Очевидно, выражение под корнем всегда положительное.

Поскольку синус принимает все значения от -1 до 1, то выражение принимает все значения из отрезка 
$left[a+4-sqrt{a^2+4},a+4+sqrt{a^2+4}right]$

Чтобы неравенство было удовлетворено при всех x, выражение под знаком модуля должно принимать значения только из отрезка [-6, 6]. Значит,
$begin{cases}a+4-sqrt{a^2+4}geqslant-6\a+4+sqrt{a^2+4}leqslant6end{cases}$

Первое неравенство:
$a+4-sqrt{a^2+4}geqslant-6\ sqrt{a^2+4}leqslant a+10\ begin{cases}a^2+4leqslant(a+10)^2\a+10geqslant0end{cases}\ begin{cases}a^2+4leqslant a^2+20a+100\ageqslant-10end{cases}\ begin{cases}20ageqslant-96\ageqslant-10end{cases}\ ain[-4.8,infty)$

Второе неравенство:
$a+4+sqrt{a^2+4}leqslant6\ sqrt{a^2+4}leqslant 2-a\ begin{cases}a^2+4leqslant(2-a)^2\2-ageqslant0end{cases}\ begin{cases}a^2+4leqslant a^2-4a+4\aleqslant2end{cases}\ begin{cases}4aleqslant 0\aleqslant2end{cases}\ ain(-infty,0]$

Пересекаем решения для двух неравенств и получаем ответ.
$boxed{ain[-4.8,0]}$