Найти все значения параметра а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 на отрезке 0 ≤ x ≤ 2 равно 3.
Ответы на вопрос
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0; 2 включительно и уравнение равно 3
Уравнение f (x) = 4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой
Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение
y' (x) = 8x-4a
y' (x) = 0 или 8x-4a = 0
8 х = 4 а
х = (1/2) a
Минимум параболы вида ax^2+bx+с
можно найти по формуле
x = - b / (2a)
В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2
a=4 b = - 4 а
x = 4a / (2*4) = (1/2) a
Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство
0 < х < 2 или 0 < (1/2) a < 2
0 < a < 4
Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3
Подставим значение х = (1/2) a в уравнение функции
y (a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 + a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = - 2a + 2
-2a + 2 = 3
2a = - 1
a = - 1/2 = - 0,5 (не подходит так как 0 < a < 4)
Поэтому решения нет