Question

Найти все значения p, такие, что функция f(x)=-x^3+3x^2+5 убывает на интервале (p; p+0.5)

Answer 1

Ответ:

$p \in (-\infty;-0.5]\,\cup \, [2;+\infty)$

Объяснение:

Исследуем функцию f(x) на монотонность с помощью производной

$f'(x)=(-x^3+3x^2+5)'=-3x^2+6x$

Найдём экстремумы функции, приравняв найденную производную к 0

$-3x^2+6x=0\,|:(-3)\\\\x^2+2x=0\\\\x(x+2)=0\\\\\left[\begin{array}{c}x=0\\x=-2\end{array}\right$

 Дальнейшее исследование с помощью метода интервалов даёт следующий результат

$f'(x)<0\,,x\in(-\infty;0)\\\\f'(x)>0\,,x\in(0;2)\\\\f'(x)<0\,,x\in(2;+\infty)$

 Таким образом, функция f(x) убывает на множестве

$x\in (-\infty;0)\,\cup\,(2;+\infty)$

 Тогда условие задачи будет выполняться при следующих значениях p

$p \in (-\infty;-0.5]\,\cup \, [2;+\infty)$