Question

Найти все значения а ,при которых уравнение ах^2 -(а^2+4)х+4а=0 имеет только целые корни ​

Answer 1

$ax^{2} - (a^{2} + 4) + 4a = 0$

Определим дискриминант данного уравнения при условии, что $aneq 0$:

$D = (a^{2} + 4)^{2} - 4a cdot 4a = a^{4} + 8a^{2} + 16 - 16a = a^{4} - 8a + 16 = (a^{2} - 4)$

Найдем значения корней:

$x_{1} = dfrac{a^{2} + 4 + a^{2} - 4}{2a} = dfrac{2a^{2}}{2a} = a$

$x_{2} = dfrac{a^{2} + 4 - a^{2} + 4}{2a} = dfrac{8}{2a} = dfrac{4}{a}$

Первый корень будет целым, если $a$ будет целым.

Чтобы второй корень был целым, нужно найти общие делители числа 4: $-4; -2; -1; 1; 2; 4$

Решим уравнение, когда $a = 0$

$0x^{2} - (0^{2} + 4)x + 4 cdot 0 = 0$

$-4x = 0$

$x = 0$ — целый корень

Объединяем все полученные ответы: $a = {-4; -2; -1; 0; 1; 2; 4 }$

Ответ: $a = {-4; -2; -1; 0; 1; 2; 4 }$