Question

Найти все пары простых чисел x и y , удовлетворяющих уравнению: x^2 - 2y^2 = 1

Answer 1

Ответ:

(3;2)

Объяснение:

Докажем  сначала, что если x и y - натуральные числа и удовлетворяют этому уравнению (кстати, это частный случай диофантова уравнения, которое называют уравнением Ферма или уравнением Пелля), то либо x либо y делятся на 3 (точнее, ровно одно из них делится на 3, но для нашего решения это не важно). В самом деле, если x и y не делятся на 3, то

$x=3npm 1; y=3mpm 1Rightarrow x^2=3(3n^2pm 2n)+1; y^2=3(3m^2pm 2m)+1Rightarrow$

$x^2-2y^2=3A-1,$ то есть не может равняться 1. (число A получилось после вынесения общего множителя 3).

Итак, x или y делится на 3. Но по условию x и y - простые, поэтому x или y

равен 3.

1-й случай. $x=3Rightarrow 3^2-2y^2=1; 2y^2=8; y^2=4; y=2.$

Поскольку 2 - простое число, получили решение (3;2).

2-й случай. $y=3Rightarrow x^2-2cdot 3^2=1; x^2=19.$

Такое уравнение не имеет решений в целых числах.

Answer 2

Скажите, а какая теорема Ферма - малая или великая изучается в школе? В принципе формулировку великой можно давать сразу после введения натуральных степеней, да и элементарное доказательство малой теоремы вроде бы не использует никаких сложных конструкций

Answer 3

Малая

Answer 4

Решение, которое предлагается в школе для такого уравнения. Если х=3, то... (подставили, опускаю) у=2. х^2-1=(х-1)(х+1) кратно 8. Ответ: х=3, у=2. Мне оно не кажется полным. Или достаточное? Ваше мнение?

Answer 5

Мне оно очень нравится.

Answer 6

Ну ок

Answer 7

Ответ:

Объяснение:

Пусть   y = 2 , тогда  x² = 9  и  x = 3 , если x = 2 , то   2y² = 3  , а

полученное  уравнение решений  в натуральных числах  не

имеет , пусть x ≠ 2  и  y ≠2  , тогда x и y - нечетные  числа :    

x = 2k + 1  и  y = 2m + 1 , подставим эти выражения в исходное

 уравнение : 4k² +4k +1  - 2( 4m² + 4m + 1)  = 1

или : 4k²+ 4k -8m²-8m = 2  ⇒ 2( k²+k - 2m² -2m ) = 1  , но

полученное  уравнение не имеет решений в натуральных

числах , так как левая часть кратна 2  , а правая нет ⇒ ( 3  ; 2 )

 - единственная пара простых чисел , удовлетворяющая

исходному уравнению

Answer 8

Спасибо, всегда приятно увидеть альтернативное решение