Question

Найти все натуральные числа a и b, удовлетворяющие уравнению 3a^2+5ab=19+2b^2
Я начал решать так: 5ab=3ab+2ab =>
3a^2+3ab+2ab-2b^2=19;
3a(a+b)+2b(a-b)=19
А дальше идей нет, подскажите пожалуйста

Answer 1

3a^2+5ab=19+2b^2

a, b > 0 a,b ∈ N

разложим 3a^2+5ab - 2b^2

решаем

3a^2+5ab -2b^2 = 0

D = (5b)^2 + 4*3*2b^2 = 25b^2 + 24b^2 = 49b^2

a12 = (-5b +- 7b)/6 = -2b   1/3b

3a^2+5ab -2b^2 = (a - 1/3b)(a + 2b) = (3a - b)(a + 2b)

получили  

(3a - b)(a + 2b) = 19

ну или

3a^2+5ab - 2b^2 = 19

3a^2 + 6ab - ab - 2b^2 = 19

3a(a + 2b) - b(a + 2b) = 19

(3a - b)(a + 2b) = 19

19 простое делится на +- 1 и +- 19

значит и множители могут быть только целыми в левой части

19 = 1*19 = (-1) * (-19)

получаем системы

1. 3a - b = -1

a + 2b = -19   нет a, b > 0

2. 3a - b = -19

a + 2b = -1    нет a, b > 0

3. 3a - b = 1

a + 2b = 19

4. 3a - b = 19

a + 2b = 1     нет a, b > 0

решаем только одну систему

3a - b = 1

a + 2b = 19

--

b = 3a - 1

a + 2(3a - 1) = 19

a + 6a -2 = 19

7a = 21

a = 3

b = 3a - 1 = 3*3 - 1 = 8

ответ (3, 8)

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Аналитический метод:

$3a^2+5ab=19+2b^2$

Перепишем выражение:

$3a^2+5ab-2b^2=19$

Заметим, что левая его часть хорошо раскладывается на множители, каждый из которых является целым числом:

$(a+2b)(3a-b)=19$

Тогда число 19 может быть получено двумя способами:

$\left\{\begin{array}{c}a+2b=1\\3a-b=19\end{array}\right;$                /или/                $\left\{\begin{array}{c}a+2b=19\\3a-b=1\end{array}\right;$

Решая записанные выше системы, находим, что исходное условие достижимо, если $a=3$ и $b=8$.

Программный метод:

Напишем программу на языке Python 3:

for a in range(1, 100):

   for b in range(1, 100):

       if 3 * a * a + 5 * a * b == 19 + 2 * b * b:

           print(a, b)

Результат ее работы (числа 3, 8) будет являться ответом на задачу.

Задание выполнено!