Question

Найти условные экстремумы функции $f$ при заданной условии: $f(x,y,z)=x-2y+2z, x^2+y^2+z^2=9$

Answer 1

Рассмотрим функцию Лагранжа

$L=x-2y+2z+\lambda (x^2+y^2+z^2-9)$

Найдем частные производные

$\displaystyle \begin{cases} & \text{ } \frac{\partial L}{\partial x}=1+2x\lambda=0 \\ & \text{ } \frac{\partial L}{\partial y} =-2+2y\lambda=0 \\ & \text{ } \frac{\partial L}{\partial z}=2+2z\lambda=0 \\ & \text{ } x^2+y^2+z^2=9 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x=- \frac{1}{2\lambda} \\ & \text{ } y= \frac{1}{\lambda} \\ & \text{ } z= -\frac{1}{\lambda} \\ & \text{ } (- \frac{1}{2\lambda})^2+( \frac{1}{\lambda} )^2+( -\frac{1}{\lambda} )^2=9 \end{cases}$

$\displaystyle \frac{1}{4\lambda^2} + \frac{2}{\lambda^2}=9|\cdot (4\lambda^2\ne 0)\\ \\ 1+8=36\lambda^2\\ \lambda^2=0.25\\ \lambda=\pm0.5$

Имеем точки экстремума (-1;2;-2) и (1;-2;2)

Найдем частные производные второго порядка

$\displaystyle \frac{\partial^2L}{\partial x^2} =2\lambda;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial^2L}{\partial y^2} =2\lambda;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \frac{\partial^2L}{\partial z^2} =2\lambda\\ \\ \\ \frac{\partial^2L}{\partial x\partial y} =\frac{\partial^2L}{\partial x\partial z} =\frac{\partial^2L}{\partial y\partial z} =0$

Строим матрицу

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}2\lambda&0&0\\ 0&2\lambda&0\\ 0&0&2\lambda\end{array}\right)$

Для точки (-1;2;-2) имеем матрицу

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)$

$a_{11}=1\ \textgreater \ 0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}1&&0\\ 0&&1\end{array}\right|=1^2-0\ \textgreater \ 0\\ \\ a_{33}= \left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|=1\ \textgreater \ 0$

Следовательно, (-1;2;-2) - точка минимума.

Для точки (1;-2;2) матрица примет вид

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{array}\right)$

$a_{11}=-1\ \ \textless \ 0\\ a_{22}= \left|\begin{array}{ccc}-1&&0\\ 0&&-1\end{array}\right|=(-1)\cdot(-1)-0\ \textgreater \ 0\\ \\ a_{33}= \left|\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{array}\right|=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)-0=-1\ \textless \ 0$

Следовательно, (1;-2;2) - точка максимума