Question

Найти
$d^2u; u=f(t); t=x^2+y^2+z^2$
Полный дифференциал первого порядка я нашел
$frac{delta u}{delta x}=2xf'_t(t)\frac{delta u}{delta y}=2yf'_t(t)\frac{delta u}{delta z}=2zf'_t(t)\\du=2f'_t(t)(xdx+ydy+zdz)$
Но мне не совсем понятно как теперь подступится ко второй производной.В плане нахождения частных производных.Так как мое решение и ответ разнятся.
Например:
$(2f'_t(t)(xdx+ydy+zdz))'_x=?$, непонятно как действовать с f(t).

Answer 1

$du=f'(t),dt\ d^2u=d(du)=d(f'(t),dt)=f''(t),(dt)^2+f'(t),d(dt)$

dt уже выписано:

$dt=2(x,dx+y,dy+z,dz)$

Вычисляем d(dt):

$d(dt)=2((dx)^2+(dy)^2+(dz)^2)$

Тогда

$d^2u=4f''(t)(x,dx+y,dy+z,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)=\=4f''(t)(x^2,dx^2+y^2,dy^2+z^2,dz^2+2xy,dx,dy+2xz,dx,dz+\+2yz,dy,dz)^2+2f'(t)(dx^2+dy^2+dz^2)$

Answer 2

Это простой вариант... Да я в принципе разобрался уже. Прост у меня была формула дана: d^2z=U''_xx dx^2+U''_yy dy^2+U''_zz dz^2+2U''_xy dxdy+2U''_xz dxdz+2U''_yz dydz и я никак не мог допереть. что d(f'(t))'_x =f''(t)*t'_x