Question

Найти расстояние от точки (4; 0) до параболы $y^2-2x=0$ .

Answer 1

Ответ:

$y^2=2x$

Пошаговое объяснение:

на графике параболы найдем точку М1, наиболее приближенную к точке М(4;0) а потом посчитаем расстояние между этими точками

итак, на параболе берем точку М1(х; y) = $M1(x; \sqrt{2x} )$

запишем расстояние между точками M1  и  M

$d^2=(x-4)^2+(\sqrt{2x} -0)^2=x^2-8x+16+2x=x^2-6x+16$

нам нужно, чтобы это расстояние было минимальным

мы имеем расстояние d²=x²-6x+16 и надо, чтобы оно → min

это будет там, где производная функции $d= \sqrt{x^2-6x+16}$ будет =0 (поскольку y₁ парабола ветвями вверх)

$d'=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+16} }$   ⇒  x=3;   $y=\sqrt{2x} =\sqrt{6}$  

мы нашли точку М1(3;√6) на параболе у² = 2х  наиболее приближенную к точке М(4;0)

теперь найдем расстояние между этими точками

$D=\sqrt{(x_{M1}-x_M )^2+(y_{M1}-y_M )^2}= \sqrt{(3-4)^2+(\sqrt{6}-0)^2 } =\sqrt{7}$