Question

Найти предел функции. Решить подробно.$\lim_{x \to \00} \frac{2^{4x}-1 }{ln(1+tgx)}$

Answer 1

Воспользуемся эквивалентностью функций

$2^{4x}-1~~\sim 4x\cdot \ln2,~~ x\to0~~ and~~~ \ln (1+{\rm tg}\,x)\sim{\rm tg}\, x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2^{4x}-1}{\ln(1+{\rm tg}\, x)}= \lim_{x \to 0}\frac{4x\cdot \ln2}{{\rm tg}\, x}=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{{\rm tg}\, x}{x}=1\end{array}\right\}=4\ln2=\ln2^4=\ln16$

Answer 2

Для решения используем таблицу эквивалентности бесконечно малых функций при х стремящемся к нулю, (аᵇ⁽ˣ⁾-1) эквивалентно b(х);  tgα(x) эквивалентен α(x) ;㏑(1+α(х)) эквивалентен α(х), поэтому предел можно переписать как предел, при х, стремящемся к нулю от (4х㏑2/tgx), и он равен 4㏑2=㏑2⁴=㏑16