Question

Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла 73 балла желательно на листе

Answer 1

$x=sqrt{4-y^2}$  - это правая полуокружность от окружности  $x^2+y^2=4$  с центром в точке (0,0) и R=2 , выразим   $y=pm sqrt{4-x^2}$  , причём для 1-ой четверти знак перед корнем (+) , а для 4-ой  четверти  знак (-) .

$x=frac{y^2}{3}$  - это парабола , ветви которой направлены вправо, вершина в точке (0,0) . Выразим y:   $y^2=3x; ; Rightarrow ; ; y=pm sqrt{3x}$  , причём знак (+) перед корнем для 1-ой четверти, а знак (-) для 4-ой четверти.

Область симметричная относительно оси ОХ. Поэтому можно подсчитать площадь одной половины, а затем удвоить её.

Найдём точки пересечения окружности и параболы.

$sqrt{4-y^2}=frac{y^2}{3}; ; ,; ; ; 4-y^2=frac{y^4}{9}; ; ,; ; 36-9y^2=y^4; ; ,; ; y^4+9y^2-36=0; ,\\D=81+4cdot 36=225; ,; ; y^2=frac{-9-15}{2}=-12<0; ; ne; podxodit; ,\\y^2=frac{-9+15}{2}=3; ; to ; ; y=pm sqrt3; ,; ; x=sqrt{4-3}=1\\\S_1=iint limits _{D}, dx, dy=int limits _0^1, dxintlimits_{0}^{sqrt{3x}}, dy+intlimits^2_1, dxintlimits^{sqrt{4-x^2}}_0, dy=$

$=intlimits^1_0Big (yBig |_0^{sqrt{3x}}Big), dx+int limits _1^2Big (yBig |_0^{sqrt{4-x^2}}Big), dx=intlimits^1_0sqrt{3x}, dx+intlimits^2_1sqrt{4-x^2}, dx; ;$

$Q=int sqrt{4-x^2}, dx\\Q=int frac{4-x^2}{sqrt{4-x^2}}, dx=4int frac{dx}{sqrt{4-x^2}}-int frac{x, cdot , x, dx}{sqrt{4-x^2}}=Big[; u=x; ,; du=dx; ,\\dv=frac{x, dx}{sqrt{4-x^2}}; ,; v=-frac{1}{2}cdot 2sqrt{4-x^2}=-sqrt{4-x^2}; ,; int u, dv=uv-int v, du; Big]=\\=4cdot arcsinfrac{x}{2}-Big(-xsqrt{4-x^2}+int sqrt{4-x^2}, dxBig)=\\=4, arcsinfrac{x}{2}+xsqrt{4-x^2}-Q; Rightarrow ; ; Q=4, arcsinfrac{x}{2}+xsqrt{4-x^2}-Q; ,$

$2Q=4, arcsinfrac{x}{2}+xsqrt{4-x^2}; ; ,; ; Q=2, arcsinfrac{x}{2}+frac{x}{2}sqrt{4-x^2}\\int sqrt{4-x^2}, dx=2, arcsinfrac{x}{2}+frac{x}{2}sqrt{4-x^2}$

$S_1=sqrt3int limits _0^1sqrt{x}, dx+Big(2, arcsinfrac{x}{2}+frac{x}{2}sqrt{4-x^2}Big)Big|_1^2=\\=sqrt3cdot frac{2, x^{3/2}}{3}Big|_0^1+2cdot (frac{pi}{2}-frac{pi}{6})+frac{1}{2}cdot (2cdot 0-sqrt3)=frac{2sqrt3}{3}+frac{2pi }{3}-frac{sqrt3}{2}=\\=frac{2, (pi +sqrt3)}{3}-frac{sqrt3}{2}; .$

$S=2S_1=frac{4(pi +sqrt3)}{3}-sqrt3$