Question

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функций
y=sinx, и отрезком [п;2п] Оси Оx
Решите пожалуйста подробно, чтоб всё было понятно. Заранее спасибо!​

Answer 1

Так как график функции y=sinx на промежутке [ П;2П ] лежит ниже оси ОХ, то есть на этом промежутке sinx≤0 , то определённый интеграл будет отрицательным числом по свойству определённого интеграла:

$xin [, a,b, ]; ; i; ; f(x)leq 0; ; Rightarrow ; ; intlimits^a_b, f(x), dxleq 0$

Значит для вычисления площади области перед определённым интегралом надо поставить знак минус. (Площадь области не может принимать отрицательные значения из геометрических соображений.)

$S=intlimits^a_b {f(x)} , dx ; ; ,; ; esli; ; f(x)geq 0; ; pri; ; xin [, a,b, ]\\S=-intlimits^a_b {f(x)} , dx; ; ,; ; esli; ; f(x)leq 0; ; pri; ; xin [, a,b, ]$

$y=sinx; ,; ; y=0; ,; ; xin [, pi ;2pi ; ]\\S=-int limits _{pi }^{2pi }, sinx, dx=-(-cosx)Big |_{pi }^{2pi }=cos2pi -cospi =1-(-1)=2$

Либо из соображений симметрии подсчитать площадь равновеликой площади для промежутка [ 0,П ]:

$S=intlimits^{pi }_0, sinx, dx=-cosxBig |_0^{pi }=-(cospi -cos0)=-(-1-1)=2$