Question

Найти первообразную:
f(x)=(x+7)^4

Answer 1

$intlimits {f(x)} , dx = intlimits {(x+7)^4 } , dx = \ \ =intlimits {(x+7)^4 } , d(x+4) = frac{1}{4+1} (x+7)^{4+1}+C= frac{(x+7)^5}{5} +C$

Использовали формулу нахождения первообразной степенной функции:
$intlimits {x^n} , dx = frac{1}{n+1} x^{n+1} +C$

Чтобы напрямую воспользоваться данной формулой, под дифференциалом делаем такое же выражение, как само основание.
Действительно, d(x+7) = dx. Т.е. любую константу можно приплюсовать к переменно под дифференциалом.

Можно пойти другом путём и сделать замену.
Пусть t = x + 7, тогда dt = dx (или dx = dt).
После замену надо будет найти такую первообразную:

$intlimits {(x+7)^4 } , dx = intlimits {t^4 } , dt = frac{1}{4+1} t^{4+1}+C= frac{(x+7)^5}{5} +C$

После нахождения первообразной сделали обратную замену.