Question

Найти определенный интеграл
$intlimits^a_b {cos^{2}(x+10)} , dx$
$a=frac{33pi }{8}$
$b=frac{-33pi }{8}$
Подробно, с объяснением.

Answer 1

Для начала, понизим степень по формуле:

cos ^ 2 (x) = 1/2 ( 1 + cos(2x))

cos^2 (x + 10) = 12 ( 1 + cos (2x + 20))

Подставим полученное выражение в интеграл, и вынесем 12 как коэффициент.

int cos ^2 (x+10) dx = 1/2 int (1 + cos(2x+10)dx = 1/2 int (1 * dx) + 1/2 int (cos(2x+20) * dx).

Далее, во втором интеграле поднесем 2 под дифференциал, а так же поделим на два, чтобы ничего не изменилось. И да, d(x + t) = d(x), поэтому еще и прибавим 20.

1/2 int (1 * dx) + 1/2 int (cos(2x+20) * dx) = 1/2 int (1 * dx) + 1/4 int (cos(2x+20) * d(2x+20)).

Теперь запишем первообразные:

Исходный интеграл равен: 1/2 * x + 1/4 sin (2x + 20) + c. Ну а значения верхнего и нижнего предела интегрирования как-нибудь сами) Формула Ньютона-Лейбница, думаю, известна Вам.