Question

Найти определенный интеграл
Интеграл 2pi cos(x/4)^8 dx
0

Answer 1

$int cos^8frac{x}{4}, dx=Big[; cos^2alpha =frac{1+cos2alpha }{2}; Big]=int Big(frac{1+cosfrac{x}{2}}{2}Big)^4, dx=\\=frac{1}{16}int Big(1+4cos^3frac{x}{2}+6cos^2frac{x}{2}+4cosfrac{x}{2}+(cos^2frac{x}{2})^2Big)dx=\\=frac{1}{16}cdot Big(x+4int (1-sin^2frac{x}{2})cdot cosfrac{x}{2}, dx+4int cosfrac{x}{2}, dx+int Big(frac{1+cosx}{2}Big)^2Big)=$

$=frac{x}{16}+frac{1}{4}cdot Big (int cosfrac{x}{2}, dx-2int sin^2frac{x}{2}cdot d(sinfrac{x}{2})Big)+frac{1}{2}cdot sinfrac{x}{2}+\\+frac{1}{16cdot 4}int (1+2cosx+cos^2x), dx=frac{x}{16}+frac{1}{2}cdot sinfrac{x}{2}-frac{1}{2}cdot frac{sin^3frac{x}{2}}{3}+frac{1}{2}cdot sinfrac{x}{2}+\\+frac{1}{64}cdot (x+2sinx+int frac{1+cos2x}{2}, dx)=$

$=frac{x}{16}+sinfrac{x}{2}-frac{1}{6}cdot sin^3frac{x}{2}+frac{x}{64}+frac{1}{32}cdot sinx+frac{1}{128}, x+frac{1}{256}, sin2x+C; ;\\\int limits _0^{2pi }cos^8frac{x}{4}, dx=(frac{x}{16}+sinfrac{x}{2}-frac{1}{6}cdot sin^3frac{x}{2}+frac{x}{64}+frac{1}{32}cdot sinx+frac{1}{128}, x+frac{1}{256}, sin2x)Big|_0^{2pi }=\\=frac{pi}{8}+frac{pi }{32}+frac{pi}{64}=frac{11pi}{64}$