Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
xy'=3sqrt(x^2+y^2)+y

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является однородным.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u, мы получаем:

$x(u'x+u)=3sqrt{x^2+u^2x^2}+ux\ \ u'x+u=3sqrt{1+u^2}+u\ \ u'x=3sqrt{1+u^2}$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{du}{dx}cdot x=3sqrt{1+u^2}~~~Rightarrow~~ intfrac{du}{sqrt{1+u^2}}=intfrac{3dx}{x}\ \ lnbig|u+sqrt{u^2+1}~big|=3ln |x|+ln C\ \ u+sqrt{u^2+1}=Cx^3$

Выполнив обратную замену:

$frac{y}{x}+sqrt{frac{y^2}{x^2}+1}=Cx^3$ — общий интеграл