Question

Найти общие решение дифференциальных уравнений

Answer 1

Это линейное неоднородное диффиренциальное уравнение вида $y' + y*P(x) = Q(x)$

Для начала надо найти решение соотв. однородного дифф-урафнения $y' + y*P(x) = 0$

$x^2y'+2xy=-4\y'+frac{2}{x}y=-frac{4}{x^2}$

Однородное: $y'+frac{2}{x}y=0$

$y'=-frac{2}{x}y\frac{dy}{dx}=-frac{2}{x}y\frac{dy}{y}=-frac{2}{x}dx$

$int {frac{1}{y}} , dy = -2int {frac{1}{x}} , dx\ln{|y|} + C_1 = -2ln{|x|}\ln{|y|} = ln{|C|} + ln{|x^{-2}|}, ln{|C|} = -C_1\y = C*x^{-2}$

Теперь найдём решение неоднородного уравнения:

Представим С как функцию от X. $y = C(x)*x^{-2}$

Подставим в исходное уравнение:

$(C(x)*x^{-2})'+frac{2}{x}(C(x)*x^{-2})=-frac{4}{x^2}\C'(x)*x^{-2} = -frac{4}{x^2}\C'(x) = -4\dC = -4dx\C(x) = -4x + C_2$

Решение:

$y = (-4x + C_2)*frac{1}{x^{2}}\y = -frac{4}{x} + frac{C_2}{x^{2}}$