Question

Найти общее решение уравнения:
y'' = y'/x + x

Answer 1

Линейное ДУ 2го порядка с понижением порядка .

Замена1:

$y'= z(x )\\ y''= z'(x)$

$z '= \frac{z}{x} + x \\ z' - \frac{z}{x} = x$

Замена2:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x} = x \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = x \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dv} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = x \\ \frac{du}{dx} \times x = x \\ u = \int\limits dx = x + C_1 \\ \\ z = x(x + C_1) \\ z = {x}^{2} + C_1x \\ \\ y' = {x}^{2} + C_1x \\ y = \int\limits( {x}^{2} + C_1x)dx = \\ = \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{C_1 {x}^{2} }{2} + C_2$

общее решение