Question

Найти общее решение уравнений
y '- 2y = 1, если y = 1/2 при x = 0

Answer 1

y' - 2y = 1 - уравнение с разделяющимися переменными

y' = 2y + 1
Воспользуемся определением дифференциала
$\frac{dy}{dx} =2y+1$
Разделяем переменные
$\frac{dy}{2y+1} =dx$
Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\frac{1}{2} \ln|2y+1|=x+C$ - общее решение

Но нужно найти частное решение(в вашем условии ошибка).Воспользуемся начальными условиями

$\frac{1}{2}\ln|2\cdot \frac{1}{2}+1|=0+C\\ C=\ln \sqrt{2}$

$\frac{1}{2} \ln|2y+1|=x+\ln \sqrt{2}$ - частное решение